Comment démontrer par récurrence que pour tout un est décroissante ?

MÉTHODE 1. – Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.

Comment démontrer la récurrence ?

La démonstration par récurrence, ou le principe des dominos

1. Les dominos doivent être placés suffisamment près les uns des autres, de sorte que si le domino numéro (n) tombe, alors le domino suivant (le numéro (n+1)) tombe également.
2. Il faut faire tomber le domino numéro 0 (sinon il ne se passe rien du tout…) !

Comment démontrer une inégalité par récurrence ?

Considérons une propriété P(n) dépendant d'un entier n ≥ 0. Le principe de récurrence faible stipule que si: [initialisation] P(0) est vraie; [hérédité] pour tout entier k > 0, si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie.

Comment justifier qu’une fonction est strictement croissante ?

On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x < y, on a aussi f (x) < f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x < y ⇒ f (x) < f (y). La fonction cube x ↦→ x3 est strictement croissante, bien que sa dérivée s'annule (en zéro).

Quelles sont les étapes du raisonnement par récurrence ?

Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.

Quelle est la formule de récurrence ?

En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.

C’est quoi la récurrence forte ?

La récurrence forte, elle, va permettre de démontrer des propriétés dont la véracité à un rang donné dépend de la véracité à tous les rangs précédents. Formellement, la différence entre la démonstration par récurrence classique et la démonstration par récurrence forte réside exclusivement dans l'étape d'hérédité.

Comment démontrer par l’absurde ?

Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que A est vraie et que B est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B doit être nécessairement vraie.

Comment démontrer que pour tout entier naturel n ?

Pour démontrer des propriétés sur les suites, en particulier sur les suites définies par récurrence, on est parfois conduit à utiliser la démonstration par récurrence. Si une propriété est vraie à un premier rang noté n_0 et est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n_0.

Comment prouver qu’une suite est décroissante ?

MÉTHODE 1. –

Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.

Comment montrer qu’une fonction est décroissante sur un intervalle ?

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse l'ordre des nombres sur cet intervalle. Autrement dit, quelque soient les réels et appartenant à I, si alors f ( a ) ≥ f ( b ) .

C’est quoi un raisonnement par récurrence SVT ?

Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonement mathématique dont l'objet est de démontrer une propriété de tous les entiers naturels, ou plus généralement d'une infinité d'entiers naturels.

Comment justifier qu’une suite est définie pour tout entier naturel n ?

Suites arithmétiques et géométriques Une suite (un) est arithmétique à partir du rang n0 s'il existe un réel r tel que , pour tout entier n ≥n0 , un+1 = un + r . Une suite (un) est géométrique à partir du rang n0 s'il existe un réel q tel que , pour tout entier n ≥n0 , un+1 = q un .

Comment calculer u12 ?

Calculer u12. Réponse : D'après la deuxième formule, u12 = u0 + 12 × r = 5 + 12 × 7 = 5 + 84 = 89.

Quand utiliser la récurrence double ?

On a vu que la récurrence classique permet de démontrer des propriétés dont la véracité se “propage” d'un rang au rang suivant, et que la récurrence double permet de démontrer des propriétés dont la véracité à un rang donné est impliquée par sa véracité aux deux rangs précédents.

Pourquoi la racine carrée de 2 est irrationnel ?

Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et −1). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, √2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.

Comment démontrer que racine de 3 est irrationnel ?

Comme 3 est premier, 3 diviserait p d'o`u l'existence de p ∈ N tel que p = 3p . En reportant dans l'égalité (⋆), on aurait 3p 2 = q2 donc 3 diviserait q, ce qui contredit (p, q) premiers ente eux. La contradiction assure que √ 3 est irrationnel.

Comment Appelle-t-on une suite croissante et décroissante ?

• Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante. De manière analogue, on définit une suite strictement croissante, strictement décroissante ou strictement monotone lorsque l'inégalité qui lie ses termes est stricte.

Comment savoir si une fonction est décroissante sur un intervalle ?

Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.

Comment savoir si une suite est strictement décroissante ?

• Dire qu'une suite (Un) est décroissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un. On alors peut choisir l'une des deux méthodes suivantes : On calcule la différence Un+1 – Un : Si pour tout entier n, Un+1 – Un 0 alors la suite (Un) est croissante. Si pour tout entier n, Un+1 – Un 0 alors la suite (Un) est décroissante.

Quand une fonction est décroissante ?

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse l'ordre des nombres sur cet intervalle. Autrement dit, quelque soient les réels et appartenant à I, si alors f ( a ) ≥ f ( b ) .

Quels sont les 3 types de raisonnement ?

– Le raisonnement inductif : il part d'observations particulières pour aboutir à une conclusion de portée générale. – Le raisonnement déductif : il part d'une idée générale pour en déduire des propositions particulières. – Le raisonnement par analogie : il procède à une comparaison avant d'aboutir à une conclusion.

Pourquoi le raisonnement par récurrence fonctionne ?

Le raisonnement par récurrence établit une propriété importante des entiers naturels : celle d'être construits à partir d'un entier n0 en itérant le passage au successeur. Dans une présentation axiomatique des entiers naturels, il est directement formalisé par un axiome.

Comment trouver le terme général d’une suite définie par récurrence ?

Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr.

Quelle est la valeur de u1 ?

Ainsi, u1 = 2 100, v1 −1 800 et w1 = 2 300. On étudie l'évolution des salaires et leur cumul sur une carrière complète (42 ans).

Quelle est la valeur de u0 ?

Perméabilité du vide